Două mulţimi. Una a cailor, alta a călăreţilor. Dacă se ȋmperechează fiecare cal cu un călăreț, este posibil ca: ori unul sau mai mulţi cai să rămȃnă fără călăreţi; ori invers; ori sa existe numai perechi. Ȋn ultimul caz, cele două mulţimi se zice că sunt echipotente. De aici «puterea» unei mulţimi sau «cardinalul» acesteia. Adică, numărul de elemente ale unei mulţimi.

Tot de aici pleacă Cantor: de Ia un şir de numere ȋntregi, ordonate crescător. Şi ia alt şir asemenea, dar cu primul element imediat superior celui mai mare din şirul precedent. Ambele avȃnd acelaşi număr de elemente (mulţimi «echipotente»). Şi le ȋmperecheză. Şi mai observă ca lucrul acesta poate să-l facă ori de cȃte ori are chef. Pȃnă la infinit. Deoarece șirul numerelor naturale se ȋntinde la infinit. Şi uite aşa apar mulţimile infinit numărabile. Şi primul număr transfinit: cardinalul unei astfel de mulţimi.

Cantor notează [1]: „[Pȃnă acum a funcţionat, şi funcţionează, din păcate] un anumit principiu recomandat tuturor [cel al finalităţii]….chiar dacă este oarecum simplu şi banal; el trebuie să [se] folosească pentru ca plăcerea ȋnaripată de speculaţia şi de concepţia matematică” ….să nu o ia razna şi să cadă ȋn „pericolul de a ajunge ȋn prăpastia «transcendentului», acolo unde, spre ȋnfricoşare şi groază salvatoare, se spune că «totul este posibil»……Odată stabilite aceste lucruri, cine ştie dacă nu tocmai punctul de vedere al finalităţii a fost singurul care a determinat pe autorii opiniei ca tuturor forţelor pline de năzuinţe, care ajung aşa de uşor ȋn pericol prin aroganţă şi lipsă de moderaţie, să le fie recomandată finalitatea…..deşi ȋn ea nu se poate găsi un principiu fecund”. Şi, mai departe:”este surprinzător că pȃnă acum a lipsit cineva care, după ştiinţa mea, să fi ȋntreprins o formulare mai completă şi mai bine decȃt am ȋncercat eu aici”….şi …„mai cred că se pot admite numărări … nu numai la mulţimile finite, dar şi la cele infinite”. Lucru pe care ȋl face prin introducerea cardinalului unei mulţimi numărabile (ca prim număr transfinit).

Dacă s-ar fi oprit aici, ar fi scăpat de ce-l pȃdea. Dar nu se astȃmpără.

Un prim pas spre prăpastie ȋl face cȃnd ȋncepe să se joace cu mai multe cardinale (numere transfinite) de mulţimi infinit numărabile.

Luȃnd, de exemplu, şirul de numere 1,2,3,….,ν şi spunȃnd că ν este limita spre care tinde şirul infinit numărabil şi, ȋn acelaşi timp, cardinalul («alephul» α1 cum ȋl numeşte Cantor acest prim număr transfinit) al șirului, Cantor găseşte, ȋn paşii ulteriori, că „nu e nimic scandalos să ne imaginăm că după acest prim «aleph» ν/ α1 ar putea urma un al doilea al unui şir care ȋncepe cu α1+1 şi al cărui «aleph» este α1+2 ş.a.m.d..

Problema este că pentru şirul α1, α1+1, α1+2…. Nu mai există nici o ȋnchidere!

Acum, Cantor este pe marginea prăpastiei. Şi se aruncă cu capul ȋnainte, ȋn momentul ȋn care ajunge la infinitul continuu, adică „ne-numărabil”. Recurgȃnd şi la alte consideraţii conexe (printre altele chiar conceptul de «conexiune») – stop că v-am (ne-am) făcut capul calendar.

Nu o să vă mai pun, ȋn continuare, imaginaţia (matematică) la ȋncercare. Ci o să recurg la cȃteva exemple (consecinţe) – zic eu, sugestive - ale «alephurilor» cantoriene [2].

„Să ne ȋnchipuim că pe o foaie de hȃrtie există există două puncte A şi B, la distanţă de 1 cm unul de altul. Trasăm segmentul de dreaptă care uneşte A cu B. Cȃte puncte există pe acest segment? Cantor demonstrează că există mai multe decȃt un număr infinit. Pentru a umple complet segmentul, e necesar un număr mai mare decȃt infinitul: numărul «tau» (şi nu numărul «aleph» cum greşit se spune ȋn [ 2]; «tau» cuprinzȃnd toate «aleph-urile» posibile).

Acest număr «tau» este egal cu fiecare din părţile sale. Dacă se ȋmparte segmentul ȋn zece părţi egale, vor exista tot atȃtea puncte ȋntr-una din părţi cȃte sunt pe tot segmentul. Dacă, plecȃnd de la segmentul ȋn cauză, se construieşte un pătrat, vor fi tot atȃtea puncte pe segment ca şi pe suprafaţa pătratului. Dacă se construieşte un cub, vor fi tot atȃtea puncte pe segment ca şi ȋn tot volumul cubului. Şi aşa mai departe pȃnă la…infinit.

Ȋn această matematică a transfinitului, care studiază numerele «tau» şi «aleph», partea este egală cu ȋntregul. „Este absolut demenţial, dacă ne plasăm ȋn punctul de vedere al al raţiunii clasice şi totuşi se poate demonstra. Şi iată cum matematicile contemporane superioare se ȋntȃlnesc cu «Tabula Smaragdina» a lui Hermes Trimegistos (’ceea ce se află sus este aidoma cu ceea ce se află jos’) şi cu intuiţia unor poeţi ca William Blake ('ȋntreg universul ȋntr-un fir de nisip').” Ca să nu mai vorbesc de unele texte ale lui Borges sau de holografie şi «holomişcarea» lui David Bohm [3], sau de Philon din Alexandria (primul teolog creştin): „substanţa lui Dumnezeu se revarsă indefinit fără pierdere” [4].

„Rezultatele lui Cantor sunt ȋncă discutate de matematicieni. Dintre care unii spun că sunt de nesusţinut din punct de vedere «logic» (evident, este vorba de logica clasică,
aristotelică n.m. G.M.). La care partizanii Transfinitului exclamă: «Nimeni nu ne va alunga din Paradisul cantorian!»”.

Cantor a spus că toate descoperirile lui i-au fost revelate de Dumnezeu. Dar Dumnezeu nu este infinitul, ci Absolutul. Şi a ȋnnebunit. Lucru pe care l-am putea face şi noi. Dacă nu ne vom păstra cumpătul pentru ceea ce urmează data viitoare. (Adică Aristotel).

NOTE

[1] citat ȋn: Oskar Becker, „Grundlagen der Mathmatik” , Freiburg/München: Alber, 1954
[2] Louis Pauvels et Jaques Bergier, „ Le matin des magiciens”, Galimard, 1960
[3] David Bohm, „Wholness and Rhe Implicate Order”, Routlamge, London, 1980
[4] Philon din Amexandria, „Comentariu alegoric al legilor sfinte dupa lucrarea de sase zile”, 2007